天津市第四十二中学 李艳杰
近几年高考中轨迹方程问题常与向量相结合，向量引入圆锥曲线可以启迪我们从一个新的角度去分析、解决问题，有利于开发智力，提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识，常能使很多繁琐的计算变得简单易行，起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。
一、直接法求轨迹方程
例1：如图，已知F(1,0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且-·■=-·■。
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点，交直线l于点M。
(1)已知-=1-,-=2-，求1+2的值；
(2)求-·■ 的最小值。
解法一：(Ⅰ)设点P(x,y)，则Q(-1,y)，由-·■=-·■得：
(x+1,0)·（2，-y)=(x-1,y)·(-2,y)，化简得C:y2=4x
解法二：(Ⅰ)由-·■=-·■得：-·（-+-)=0，
∴(---)·（-+-)=0
∴-2--2=0
∴|-|=|-|
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x。
(Ⅱ)解法从略。
【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
例2：设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-且-·■=1，则点P的轨迹方程是( )
A.3x2+-y2=1(x>0,y>0)
B.3x2--y2=1(x>0,y>0)
C.-x2-3y2=1(x>0,y>0)
D.-x2+3y2=1(x>0,y>0)
解：设P(x，y)，则Q(-x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0，于是-=(x,y-b),-=(a-x,-y)，由-=2-可得a＝-x，b＝3y，所以x>0，y>0又-＝(-a，b)＝(--x，3y)，由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)，所以选D。 |
