天津市第四十二中学 张鼎言
函数部分是高中数学学科的重点,自然也是高考的热点,下面归纳为三个问题。
(一)函数的图象与性质
复习导引:初中与高中学完了全部基本初等函数。函数问题研究的范围是定义域、值域、图象、奇偶性、单调性、周期性,函数的极限与连续性,反函数。本专题的学习方法可概括为“作图象”与“用图象”,通过具体的问题深入理解与领悟“数形结合”的数学思想。请读者特别注意每题后的“注”。
1. 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则-+-的最小值为 。
分析:对数函数f(x)=logax图象的特征是过点(1,0),由此,本题函数图象过点(-2,-1),即A(-2,-1)。
又A在直线mx+ny+1=0上,
∴2m+n=1
而m·n>0,∴m>0,n>0
1=2m+n≥2-,-≥8
-+-=-=-≥8
∴最小值为8。
注:在复习基本初等函数时,其图象的特征是重要的基础知识。
2.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧-与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是 。
解:S扁形=-·x,S△OAB=-sinx
f(x)=2S弓形=2·■(x-sinx)=x-sinx
0
x图象在y=x上方。
选D。
注:本题是列出解析式,把对解析式的分析反映到图象上,关键是抓住y=x这一最简单的图象作基础。
3.f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如右图,令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)叙述正确的是( )
A.若a<0则函数g(x)的图象关于原点对称
B.若a=-1,-2
C.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根
D.若a≥1,b<2,则方程g(x)=0有三个实根
解:g(x)=af(x)+b当b≠0时,g(x)非奇函数,A显然错误。
从函数f(x)的图象可知:c>2,f(c)<-2
又-22+b>2+(-2)>0
g(2)=-f(2)+b=b<0
即-存在2
故B正确。
为了把本题彻底弄明白,讨论一下选项C是有必要的.
g(x)=af(x)+2=a[f(x)+-]
若使g(x)=0,那么f(x)=--。
当-->f(-c)或--,方程g(x)=0没有实数根,所以选项C错误。
同理,对选项D进行讨论,得出选项D也是错误的。
注:从f(x)到g(x),只是把f(x)的纵坐标扩大或缩小,然后把图象上下移动。方程f(x)=0在区间(a,b)内有根的充分条件是f(a)·f(b)<0。
4.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
分析:由偶函数
f(x)=f(2-x)←→f(x)=f(x+2),
∴f(x)的周期T=2
用示意图:
-
故选B.
注:本题把函数的奇偶性、单调性、周期性及之间的逻辑关系“用图象”简单、清晰地表达出来.本题用图象对称轴x=1,也可解。 |