王忠  教育硕士，中学高级教师，县高中数学学科带头人，县第四届十大杰出青年。

      题一、已知函数 的定义域为R，且对任意的实数，必有

成立，写出满足条件的一个函数为     .

答案： 等 .

本题从开放题的角度考查了幂函数，难度适当.幂函数是刚恢复的内容，复习中应关注，类似的

还有复数知识.

题二、已知集合A＝{a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l(A)表示a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)的所有不同值的个数．

（1）已知集合P＝{2，4，6，8}，Q＝{2，4，8，16}，分别求l(P)，l(Q)；

（2）若集合A＝{2，4，8，…，2ⁿ}，求证：l(A)＝；

（3）求l(A)的最小值．

（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得l(P)＝5，……1分

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l(Q)＝6 ．…2分

（2）证明：因为a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)共有项，所以l(A)≤．………………………4分

又集合A＝{2，4，8，…，2ⁿ}，不妨设a_m＝2^m，m＝1，2， …，n．

a_i＋a_j，a_k＋a_l(1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n)，

当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i＋a_j＜2 a_j＝2^j＋1≤a_l＜a_k＋a_l，

即a_i＋a_j≠a_k＋a_l，

当j＝l，i≠k时，a_i＋a_j≠a_k＋a_l，

因此，当且仅当i＝k，j＝l时，a_i＋a_j＝a_k＋a_l．

即所有a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)的值两两不同，因此l(A)＝．……………………………8分

（3）不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得

a₁＋a₂＜a₁＋a₃＜…＜a₁＋a_n＜a₂＋a_n＜a₃＋a_n＜…＜a_n－1＋a_n，

故a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3个不同的数，即l(A)≥2n－3．……………………12分

事实上，设a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差数列，考虑a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)，根据等差数列的性质，

当i＋j≤n时， a_i＋a_j＝a₁＋a_i＋j－1；

当i＋j＞n时， a_i＋a_j＝a_i＋j－n＋a_n；

因此每个和a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)等于a₁＋a_k(2≤k≤n)中的一个，或者等于a_l＋a_n(2≤l≤n－1)中的一个．

故对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3．………………………16分

本题编制思想是：根据江苏数学高考由近几年形成的特色，以数列为载体，等差数列与等比数列为素材，着力考察学生的代数论证能力，具体地又可以细分为对数学符号的理解与运用、对规律的猜想到证明、对充分性与必要性在论证中的灵活运用、反证法的运用、不等与相等的辩证关系，所设置的三个问题从简单到复杂，形成较大的梯度.

后期的复习要注意以下几个方面：①让学生从解繁多的数学题过渡到基础的回归，包括对课本的回归，重要考点的归纳整理，易错题的再提醒，可以做一些习题，但坚决回避难、偏怪题；②调整好学生的心理状态，特别关注那些焦虑情绪比较浓厚的学生；③对学生进行有效的考试方法指导，处理好审题与解题、“会做”与“得分”、难题与容易题、过程与结果等关系.