天津市第四十二中学 李艳杰
二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。
例1：已知定点A(2,0)，点P在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动，∠AOP的平分线交PA于Q，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。
解: 设Q(x,y),P(x1,y1)
-=(x-2,y)
-=( x1-x,y1-y)
又∵-=-=-
∴ -=2-
即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)
-
解得：-
代入x12+y12=1(x≠1)有：
-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)
即所求轨迹方程为：
(x--)2+y2=-(x≠-)
【点拨】用该方法解此类问题简单明了，若将Q视为线段AP的定比分点，运用定比分点公式解本题，则计算过程既繁琐又容易出错。
例2：设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-,且-·■=1,求P点的轨迹方程。
解：-=2-
∴P分有向线段-所成的比为2
由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)
∴- =(--x,3y)
∵Q与P关于y轴对称, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)
∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)
即所求点P的轨迹方程为-x2+3y2=1(x>0,y>0)
【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。
三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。
例1：如图，过定点A(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于M点，l2与y轴相交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程。
解：设P(x,y)，则M(2x,0)，N(0,2y)
-=(2x-a ,-b)
-=(-a,2y-b)
由-⊥-知-·■=0
∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0
即所求点P的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2
【点拨】用勾股定理解本题，运算繁琐，若用斜率解本题，又必须分类讨论，用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷，使解题优化。
例2：过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，过原点O作OM⊥AB，垂足M，求点M的轨迹方程。
解：设M(x,y), OM⊥AB，F(2,0)
∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0
∴点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0 |
