Ⅲ.考试内容

　　1.平面向量

　　考试内容：

　　向量。向量的加法与减法。实数与向量的积。平面向量的坐标表示。线段的定比分点。平面向量的数量积。平面两点间的距离。平移。

　　考试要求：

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

　　(2)掌握向量的加法和减法。

　　(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

　　【导读】通常以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。平面向量的几何表示是平面几何性质的反映，向量的表示可以使平面几何的各类性质的表示及证明更为直观，且较易理解与接受。

　　【试题举例】(2008•北京)

　　已知向量a与b的夹角为120°，且|a ＝|b ＝4，那么b•(2a＋b)的值为　　　　.

　　【答案】0

　　【解析】b•(2a＋b)＝2a•b＋b²＝2|a •|b cos120°＋16＝0，考查向量的运算，属于容易题。

　　(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

　　【导读】向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示。在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为我们熟知的数量运算，这也是中学数学学习向量的重要目的之一。要注意两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法又称“点乘”.

　　【试题举例】(2008•湖北)

　　设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)•c＝(　　)

　　A.(－15,12)  B.0  C.－3  D.－11

　　【答案】C

　　【解析】C　[解析]∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，

　　∴(a＋2b)•c＝(1－6，－2＋8)•(3,2)＝－15＋12＝－3，故应选C.

　　(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

　　(6)掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用。掌握平移公式。

　　【导读】在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；③向量作为工具的应用。向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切。

　　【试题举例】(2008•辽宁)

　　将函数y＝2^x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2^x＋1的图象，则(　　)

　　A.a＝(－1，－1)  B.a＝(1，－1)  C.a＝(1,1)  D.a＝(－1,1)

　　【答案】A

　　【解析】将函数y＝2^x＋1的图象向左平移1个单位可得函数y＝2^x＋1＋1的图象，再将该函数图象向下平移1个单位可得函数y＝2^x＋1的图象，由此可得平移向量a＝(－1，－1)，故应选A.

　　2.集合、简易逻辑

　　考试内容：

　　集合。子集。补集。交集。并集。

　　逻辑联结词。四种命题。充分条件和必要条件。

　　考试要求：

　　(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

　　【导读】数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思维方法解决问题。学会运用数形结合、分类讨论的思维方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质。

　　【试题举例】

　　已知集合S＝{x∈Rx＋1≥2ou }，T＝{－2，－1，0，1，2}，则S∩T＝(　　)

　　A.　{2}  B.{1,2}　  C.　{0,1,2}  D.{-1,0,1,2}

　　【答案】B

　　【解析】(直接法)S＝{x∈Rx＋1≥2}⇒S＝{x∈Rx≥1}，T＝{-2,-1,0,1,2}，故S∩T＝{1,2}.

　　(排除法)由S＝{x∈Rx＋1≥2}⇒S＝{x∈Rx≥1}可知S∩T中的元素比0要大，而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且S∩T中含有元素1，故排除A项。故答案为B.

　　(2)理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。理解四种命题及其相互关系。掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。

　　【导读】可以判断真假的语句叫做命题。构成复合命题的p或q可以是两个不相关的命题，判断命题真假的步骤是：(1)定形式；(2)判简单；(3)判复合，以真值表为依据。规律是“或命题”一真俱真，要假全假.“且命题”一假俱假，要真全真。当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。高考在考查其他部分内容时涉及集合的知识。很少有正面考查逻辑的内容。逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来并汇考查。

　　【试题举例】

　　“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的(　　)

　　A.充分而不必要条件

　　B.必要而不充分条件

　　C.充分必要条件

　　D.既不充分也不必要条件

　　【答案】C

　　【解析】当a＝2时，直线2x＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，则是充分条件；直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1时有：a＝2，则是必要条件，故是充分必要条件。

　　3.函数

　　考试内容：

　　映射。函数。函数的单调性、奇偶性。

　　反函数。互为反函数的函数图象间的关系。

　　指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。

　　对数。对数的运算性质。对数函数。

　　函数的应用。

　　考试要求：

　　(1)了解映射的概念，理解函数的概念。

　　【导读】映射A→fB中，A中元素无剩余、一对一或多对一。函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中象集B的子集”.函数图象与x轴垂线至多有一个交点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个。函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象。函数是一种特殊的映射，而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂。函数有两种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义。复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系、两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用。

　　【试题举例】

　　给出下列三个等式：

　　f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).下列函数中不满足其中任何一个等式的是(　　)

　　A.f(x)＝3^x　 

　　B.f(x)＝sinx　 

　　C.f(x)＝log₂x　 

　　D.f(x)＝tanx

　　【答案】B

　　【解析】依据指、对数函数的性质可以发现A满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，

　　C满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，而D满足f(x＋y)＝f(x)+f(y)/1-f(x)f(y).，

　　B不满足其中任何一个等式。

　　(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

　　【导读】函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论。函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质。函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用定义法、导数法，在选择题、填空题中还有数形结合法、特殊值法等等。函数的奇偶性是函数既有图象特征又有代数形式，两者均是高考考查的重点，两者相结合的抽象函数的性质探究更是函数性质研究的深入。函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。

　　【试题举例】

　　在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)

　　A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

　　B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

　　C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

　　D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

　　【答案】B

　　【解析】由f(x)＝f(2－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，又因为f(x)为偶函数图象关于x＝0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如上f(x)草图。故选B.

　　(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

　　【导读】反函数的定义不只局限于函数y＝a^x(x∈R)与函数y＝log_ax(x∈(0，＋∞))，对于其他的函数也有可能存在反函数。只有一一对应的函数才有反函数，证明唯一性命题既要证存在性，又要用反证法证其唯一性。遇到互为反函数问题时，要时刻记住两者定义域与值域互换。确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程、解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y＝f(x)与y＝f^－1(x)互为反函数，函数y＝f(x)的定义域为A、值域为B，则f[f^－1(x)]＝x(x∈B)，f^－1[f(x)]＝x(x∈A)；单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y＝x对称。求反函数的一般方法：

　　(1)由y＝f(x)解出x＝f^－1(y)，(2)将x＝f^－1(y)中的x，y互换位置，得y＝f^－1(x)，(3)求y＝f(x)的值域得y＝f^－1(x)的定义域。

　　【试题举例】(2008•全国卷一)

　　若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln√x＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝(　　)

　　A.e^2x－1  B.e^2x  C.e^2x＋1  D.e^2x＋2

　　【答案】B

　　【解析】本小题主要考查原函数与反函数图象间的关系及反函数的求法。

　　由题意知y＝f(x－1)与y＝ln√x＋1互为反函数，y＝ln√x＋1的反函数的求解如下：y－1＝ln√x，√x＝e^y－1，两边平方得x＝e^2y－2，交换x，y，则得y＝ln√x＋1的反函数为f(x－1)＝e^2x－2则f(x)＝e^2x，故选B.

　　(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

　　【导读】1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用。对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论。用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键。

　　2.对可化为a^2x＋b•a^x＋c＝0或a^2x＋b•a^x＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围。

　　【试题举例】

　　设a＝log1/2³，b＝1/3²，c＝2*1/3则(　　)

　　A.a<b<c  B.c<b<a

　　C.c<a<b  D.b<a<c

　　【答案】A

　　【解析】∵由指、对函数的性质可知：a＝log1/2³<log1/2*1＝0,0<b＝1/3^0.2<1，c＝2*1/3>1，∴有a<b<c.

　　(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图象和性质。

　　【导读】1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用。由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆。

　　2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容。学生在理解有关的例题时，要强化这方面的意识。

　　【试题举例】

　　设a＞1，函数f(x)＝log_ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1/2，则a等于(　　)

　　A. √2 B.2  C.2√2  D.4

　　【答案】D

　　【解析】设a＞1，函数f(x)＝log_ax在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为log_a2a，log_aa＝1，它们的差为1/2，∴log_a2＝1/2，a＝4，选D.

　　(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

　　【导读】指数函数f(x)＝a^x，具有性质：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0.对抽象函数的研究，合理赋值是唯一途径，不能仅依赖于函数模型；对数函数f(x)＝log_ax，具有性质：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(a)＝1(a>0，a≠1)，应注意对数函数的图象性质在解题中的应用。

　　【试题举例】(2008•全国卷二)

　　若x∈(e^－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln³x，则(　　)

　　A.a<b<c  B.c<a<b

　　C.b<a<c  D.b<c<a

　　【答案】C

　　【解析】∵x∈(e^－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b－a＝lnx<0，即b<a，又∵a、c均小于0，＝ln²x<1，得c>a，∴b<a<c，故应选C.