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中考数学反比例函数中的面积问题
来源:城市快报     2008-12-13 10:54:00
 
中考数学反比例函数中的面积问题

  在反比例函数y=-(k为常数且k≠0)中,比例系数k具备一定的几何意义:

  如图,点P是双曲线y=-(k为常数且k≠0)上任意一点,过P作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N。设点P的坐标为(x,y),则PM=|y|,PN=|x|。

  S四边形PMON=PM·PN=|x|·|y|=|xy|

  ∵y=- ∴xy=k ∴S=|k|

  即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线,所得矩形面积为|k|。

  也就是说矩形的形状随着P点的变化而变化,但面积始终是定值。利用这一结论我们可以解决一系列的问题。

  例1.如图:点C是x轴正半轴上动点,过C作x轴的垂线,交双曲线 y=-于点B,过B作y轴的垂线交y轴于D,当C沿x轴的正向运动时,

  (1)四边形DOCB的面积如何变化?

  [解答]:面积不发生变化,S=|k|=1。

  (2)三角形BOD的面积为_____

  [解答]:S△BOC=-

  (3)过BO的直线与双曲线的另一交点为B’,此时三角形B’CB的面积为_____。

  [解答]:S△BB’C=|k|=1

  (4)过B’作B’F⊥x轴于F,连接BF,则平行四边形FB’CB的面积为_____

  [解答]:S四边形FB’CB=|2k|=2

  (5)如图过B’作B’E⊥y轴于E,连接CE,则四边形B’ECB的面积为______。

  [解答]:S四边形BB’EC=-=-

  (6)如图,作B’F⊥x轴,BD⊥y轴,连接DF、CE,则六边形FB’ECBD的面积为______

  [解答]:S六边形FB’ECBD=3|k|=3

  例2.如图:在平面直角坐标系中,A为y轴正半轴上的一点,过A作x轴的平行线,交函数y=--(x<0)的图像于B,交函数y=-(x>0)的图像于C,过C作y轴的平行线交BO的延长线于D。

  (1)如果点A的坐标为(0,2),求线段AB与线段CA的长度之比。

  (2)如果点A的坐标为(0,a),求线段AB与线段CA的长度之比。

  (3)在(2)的条件下,求四边形AODC的面积。

  [分析]:要求解的图形面积为直角梯形的面积,因此需要先确定图中A、O、C、D四个点的点坐标,进而求出上底AO、下底CD、高AC的长度。其中D点的确定则需要求直线BO的解析式。

  [解答]:(1)由A(0,2)得出B(-1,2)、C(3,2)即AB=1,AC=3

  (2)由A(0,a)得出B(--,a),C( -,a),AB=-,AC=-,AB:AC=1:3

  (3)直线BC的解析式:

  y=--,D(-,-3a)

  SAODC=(a+4a)(-)(-)=15

  例3.如图,在反比例函数y=-(x>0)的图像上有点A、B、C、D,它们的横坐标依次为1、2、3、4,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3,则S1+S2+S3的值是多少?

  [分析]:将面积为S2、S3的图形左移拼凑成一个大的矩形,求解这个矩形的面积。

  [解答]:如图:S1+S2+S3=AG·GE=1×(2--)=-

  例4.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=-的图像交于A(1,4)、B(3,m)两点,求△AOB的面积。

  [分析]将此三角形的面积转化为直角梯形的面积进行求解。

  [解答]

  ∵A(1,4)在反比例函数y=-图像上,∴k2=4,即y=-,B(3,-),过A、B分别作AD⊥x轴,BE⊥x轴,A、B都在双曲线上,∴S△AOD=S△BOE=-=2

  S△AOB=S四边形AOEB-S△BOE

  =S△AOD+S梯形ADEB-S△BOE

  =S梯形ADEB

  =(AD+BE)·■=(4+-)·■=-(周五继续刊登)

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